Szerk
P. 5684. Egyenletes vastagságú drótból az ábrán látható keretet készítjük el. Számítsuk ki az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), valamint az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontok közötti eredő ellenállások arányát!
(5 pont)
Közli: Cserti József, Budapest
I. megoldás. Az egyenletes vastagság miatt a drótok ellenállása arányos a hosszúságukkal. Legyen a kis négyzetek egy-egy oldalának ellenállása \(\displaystyle R\). Az áttekinthetőség kedvéért az 1. ábrán látható módon további csúcsokat is megjelölünk.
1. ábra
1. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok közötti ellenállás meghatározása.
Rajzoljuk át a kapcsolást áttekinthetőbb formába (2. ábra).
2. ábra
A felső ág középső részének eredő ellenállása:
Ezt felhasználva a 2. ábra egyszerűsíthető. A 3. ábrán (a szimmetriát kihasználva) berajzoljuk az egyes ágak áramát is.
3. ábra
A Kirchhoff-féle csomóponti törvény az \(\displaystyle A\) pontra:
A Kirchhoff-féle huroktörvény az \(\displaystyle ADE\) és a \(\displaystyle DGFE\) hurkokra:
Az (1), (2) és (3) egyenletekből álló egyenletrendszert megoldva:
\(\displaystyle I_1=\frac{3}{8}I,\quad I_2=\frac{5}{8}I,\quad I_3=\frac{1}{8}I. \)
A potenciálkülönbség \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) között:
\(\displaystyle U_{AB}=RI_2+R(I_2+I_3)+RI_2=3RI_2+RI_3=\frac{15}{8}RI+\frac{1}{8}RI=2RI, \)
és ebből az eredő ellenállás:
\(\displaystyle R_{AB}=\frac{U_{AB}}{I}=2R. \)
2. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontok közötti ellenállás meghatározása.
Az áramkör átrajzolása a 4. ábrán látható. A szimmetria miatt a \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\), illetve az \(\displaystyle I\) és \(\displaystyle H\) pontok ekvipotenciálisak, így a \(\displaystyle DE\) és az \(\displaystyle IH\) ágakon (az ábrán halványan rajzolva) nem folyik áram, azok elhagyhatók.
4. ábra
Az áramkör soros és párhuzamos kapcsolásokból áll, eredő ellenállása könnyen meghatározható:
\(\displaystyle R_{AC}=\frac{1}{2}\left(R+R+\frac{1}{2}\cdot 2R+R+R\right)=\frac{5}{2}R=2{,}5R. \)
3. A két eredő ellenállás aránya:
\(\displaystyle \frac{R_{AB}}{R_{AC}}=\frac{2R}{2{,}5R}=\frac{4}{5}=0{,}8. \)
Ferencz Kevin (Budapest, Békásmegyeri Veres Péter Gimn., 11. évf.)
II. megoldás. Az \(\displaystyle R_{AB}\) ellenállás meghatározásánál a nehézséget a 2. ábrán látható \(\displaystyle ADE\) és \(\displaystyle BGF\) ellenállás-háromszögek jelentik. Ezeket delta–csillag átalakítással szüntethetjük meg. Az átalakítás az 5. ábrán látható, a csillagkapcsolás ellenállásértékeit a Függvénytáblázatban található képletekkel határoztuk meg:
5. ábra
Ezt az átalakítást, valamint az (1) összefüggést felhasználva a kapcsolás a 6. ábrán látható módon rajzolható át. (A \(\displaystyle BGF\) háromszög a szimmetria miatt ugyanúgy alakítható át, mint az \(\displaystyle ADE\).)
6. ábra
Ezután az eredő ellenállás már könnyen meghatározható:
A megoldás többi része megegyezik az I. megoldással.
32 dolgozat érkezett. Helyes 12 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 9, hiányos (1–2 pont) 9, hibás 2 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
M. 447. Mérjük meg egy laza csavarrugó rugóállandóját különböző, a rugóval összemérhető tömegű nehezékek segítségével
a) statikus módszerrel,
b) dinamikus módszerrel (rezgések tanulmányozásával).
Vessük össze a kétféle módszerrel kapott eredményeket, és próbáljunk magyarázatot adni az esetleges eltérésre!
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsulna fel.
Közli: Bodor András, Budapest
