Szerk
P. 5680. Amikor a \(\displaystyle 30^\circ\)-os hajlásszögű, vízszintes síkban folytatódó domboldalt mindenütt hó borította, Peti szokatlan módját választotta a szánkózásnak: az emelkedő aljától számított \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\) távolságból különböző kezdősebességgel indult el.
a) Mekkora kezdősebesség esetében áll meg leghamarabb a szánkó?
b) Milyen hosszú utat tett meg felfelé az emelkedőn ebben az esetben a szánkó?
A szánkó pályája egybeesett a domboldal esésvonalával. A lejtő töréspontmentesen csatlakozik a vízszintes felülethez. A szánkó és a hó között a súrlódás elhanyagolható.
(4 pont)
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
Megoldás. a) A síkon Peti \(\displaystyle v_0\) sebességgel a \(\displaystyle d=5~\mathrm{m}\) utat
\(\displaystyle t_1=\frac{d}{v_0} \)
idő alatt teszi meg. Az \(\displaystyle \alpha=30^\circ\) hajlásszögű emelkedőn a lassulásának nagysága:
\(\displaystyle |a|=g\sin\alpha=\frac{g}{2}, \)
így a lejtőn a megállásig
\(\displaystyle t_2=\frac{v_0}{|a|}=\frac{2v_0}{g} \)
ideig fog mozogni. A teljes mozgási idő \(\displaystyle t=t_1+t_2\), azt keressük, hogy ez milyen kezdősebesség esetén minimális. Ezt legegyszerűbben a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséggel kaphatjuk meg:
\(\displaystyle t=\frac{d}{v_0}+\frac{2v_0}{g}\geq 2\sqrt{\frac{d}{v_0}\,\frac{2v_0}{g}}=2\sqrt{\frac{2d}{g}}\approx 2~\mathrm{s}. \)
A minimális idő akkor valósul meg, amikor az egyenlőség áll fenn:
\(\displaystyle \frac{d}{v_0}=\frac{2v_0}{g}, \)
amiből a keresett kezdősebesség:
\(\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{gd}{2}}\approx 5~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
b) Az emelkedőn Peti a \(\displaystyle v_0\) kezdősebességről a megállásig lassulva
\(\displaystyle s=\frac{v_0^2}{2|a|}=\frac{v_0^2}{g}=\frac{d}{2}=2{,}5~\mathrm{m} \)
utat tesz meg.
Bense Tamás (Budapest V. Ker. Eötvös J. Gimn., 10. évf.)
Megjegyzés. A b) kérdésre a választ egyszerűbben megkaphatjuk, ha észrevesszük, hogy a minimális idő esetében Peti ugyanannyi ideig mozog a síkon, mint a lejtőn, csak éppen fele akkora átlagsebességgel. Ebből \(\displaystyle s=\tfrac{d}{2}=2{,}5~\mathrm{m}\), az előző megoldással összhangban.
53 dolgozat érkezett. Helyes 32 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 15, hiányos (1–2 pont) 4, hibás 2 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5706. Homogén tömegeloszlású vékony vasrúdból \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) hosszúságú darabokat vágunk le, és azokból háromszög alakú merev keretet hozunk létre. A vaskeret teljes súlya \(\displaystyle G\). A keretet vízszintes helyzetben a csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a vaskeret az alátámasztási pontokat?
G. 915. Egy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalélű háromszög alakú, vékony lemez homogén tömegeloszlású, súlya \(\displaystyle G\). A lemezt vízszintes helyzetben, a háromszög csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a lemez az alátámasztási pontokat?
