Szerk
P. 5676. Az ábrán látható kapcsolási rajz szerint összeállított áramkörben szereplő feszültségforrás elektromotoros ereje \(\displaystyle 20~\mathrm{V}\), az ellenállások \(\displaystyle R_1=50~\Omega\), illetve \(\displaystyle R_2=150~\Omega\) nagyságúak, a kondenzátor \(\displaystyle 20~\mu\mathrm{F}\) kapacitású. Kezdetben a K kapcsoló zárva van.
a) Mekkora a kondenzátor töltése a kapcsoló zárt állása esetén?
b) A kapcsoló nyitását követően kialakuló állandósult állapot eléréséig mennyivel változik meg a kondenzátor energiája, és mennyi hő fejlődik az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson?
A feszültségforrás belső ellenállása elhanyagolható.
(5 pont)
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
Megoldás. a) A kapcsoló zárt állása esetén az ellenállásokon az ellenállások arányában oszlik meg a feszültség, a kondenzátor feszültsége pedig a vele párhuzamosan kötött \(\displaystyle R_2\) ellenállás feszültségével lesz egyenlő. Így a kondenzátor feszültsége
\(\displaystyle U_\mathrm{C}=U_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}U_0=15~\mathrm{V}, \)
a kondenzátor keresett töltése pedig:
\(\displaystyle Q=CU_\mathrm{C}=3\cdot 10^{-4}~\mathrm{C}=300~\mu\mathrm{C}. \)
b) A kapcsoló kinyitása után egy tranziens folyamat kezdődik, majd a tranziens lezajlása után már nem fog sehol áram folyni az áramkörben. Ekkor a teljes telepfeszültség a kondenzátorra esik, azaz
\(\displaystyle U_\mathrm{C}'=U_0=20~\mathrm{V}, \)
és így a kondenzátor új töltése:
\(\displaystyle Q'=CU_\mathrm{C}'=4\cdot 10^{-4}~\mathrm{C}=400~\mu\mathrm{C}. \)
A kondenzátoron tehát a folyamat végén több töltés lesz, a többlet a feszültségforrásból az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson keresztül jut a kondenzátorra, miközben azon hő fejlődik. Eközben a kondenzátor energiája is megnő, a változása:
\(\displaystyle \Delta E=E'-E=\frac{1}{2}CU_\mathrm{C}'^2-\frac{1}{2}CU_\mathrm{C}^2=1{,}75\cdot 10^{-3}~\mathrm{J}=1{,}75~\mathrm{mJ}. \)
A telepen eközben \(\displaystyle \Delta Q=Q'-Q=10^{-4}~\mathrm{C}=100~\mu\mathrm{C}\) töltés halad át, így a telep munkavégzése:
\(\displaystyle W=\Delta QU_0=2\cdot 10^{-3}~\mathrm{J}=2~\mathrm{mJ}. \)
Az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson felszabaduló Joule-hő a telep munkavégzésének és a kondenzátor energianövekményének a különbsége:
\(\displaystyle W_1=W-\Delta E=2{,}5\cdot 10^{-4}~\mathrm{J}=0{,}25~\mathrm{mJ}. \)
Zádori Gellért (Szegedi Radnóti M. Kísérleti Gimn., 12. évf.)
Megjegyzés. A feladat megoldásához nem szükséges, de leírhatjuk a tranziens folyamatot is. A huroktörvény alapján:
\(\displaystyle U_0=R_1I(t)+U_\mathrm{C}(t), \)
ahol
\(\displaystyle I=C\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{C}(t)}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}(U_\mathrm{C}(t)-U_0)}{\mathrm{d}t}. \)
Ezt behelyettesítve:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}(U_\mathrm{C}(t)-U_0)}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{R_1C}(U_\mathrm{C}(t)-U_0), \)
amely egy ugyanolyan differenciálegyenlet az \(\displaystyle U_\mathrm{C}(t)-U_0\) mennyiségre, mint a jól ismert bomlási törvény. Ez alapján a megoldása:
\(\displaystyle U_\mathrm{C}(t)-U_0=(U_\mathrm{C}(0)-U_0)~\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}, \)
ahol \(\displaystyle \tau=R_1C\) az időállandó, és \(\displaystyle U_\mathrm{C}(0)=15~\mathrm{V}\) a kondenzátor kezdeti feszültsége. Így az áram időfüggése:
\(\displaystyle I(t)=C\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{C}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{U_0-U_\mathrm{C}(0)}{R_1}~\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}, \)
a teljes felszabaduló Joule-hőt pedig ennek integrálásával kaphatjuk meg:
\(\displaystyle W_1=\int\limits_0^\infty R_1I(t)^2~\mathrm{d}t=\frac{(U_0-U_\mathrm{C}(0))^2}{R_1}\int\limits_0^\infty \mathrm{e}^{-\frac{2t}{\tau}}~\mathrm{d}t=\frac{C}{2}(U_0-U_\mathrm{C}(0))^2=0{,}25~\mathrm{mJ}, \)
az előző megoldással összhangban.
40 dolgozat érkezett. Helyes 16 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 11, hiányos (2–3 pont) 10, hibás 1, nem értékelt 2 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5706. Homogén tömegeloszlású vékony vasrúdból \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) hosszúságú darabokat vágunk le, és azokból háromszög alakú merev keretet hozunk létre. A vaskeret teljes súlya \(\displaystyle G\). A keretet vízszintes helyzetben a csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a vaskeret az alátámasztási pontokat?
G. 915. Egy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalélű háromszög alakú, vékony lemez homogén tömegeloszlású, súlya \(\displaystyle G\). A lemezt vízszintes helyzetben, a háromszög csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a lemez az alátámasztási pontokat?
