Szerk
P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.
Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?
(5 pont)
Példatári feladat nyomán
I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.
1. ábra
1. eset: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) (a test melegebb, 1. ábra).
A pillanatnyi hatásfok:
\(\displaystyle \eta(T)=1-\frac{T_0}{T}. \)
A test által leadott kicsiny hőmennyiség \(\displaystyle \mathrm{d}Q=-C\mathrm{d}T\), így az eközben végzett elemi munka:
\(\displaystyle \mathrm{d}W=\eta\mathrm{d}Q=-C\left(1-\frac{T_0}{T}\right)\mathrm{d}T. \)
Ezt integrálva \(\displaystyle T_0+\Delta T\)-től \(\displaystyle T_0\)-ig:
\(\displaystyle W_1=-C\int\limits_{T_0+\Delta T}^{T_0}\left(1-\frac{T_0}{T}\right)\mathrm{d}T=CT_0\left(\frac{\Delta T}{T_0}-\ln\left(1+\frac{\Delta T}{T_0}\right)\right). \)
2. ábra
2. eset: \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\) (a test hidegebb, 2. ábra).
Ekkor a hőtartály a meleg oldal (\(\displaystyle T_0\) hőmérsékleten) és a test a hideg (\(\displaystyle T\), változó hőmérsékleten). Reverzibilis folyamat esetén:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q'}{\mathrm{d}Q}=\frac{T_0}{T}, \)
ahol \(\displaystyle \mathrm{d}Q'\) a hőtartály által leadott, \(\displaystyle \mathrm{d}Q=C\mathrm{d}T\) pedig a test által felvett kicsiny hőmennyiség. A kettő különbsége az elemi munkavégzés:
\(\displaystyle \mathrm{d}W=\mathrm{d}Q'-\mathrm{d}Q=C\left(\frac{T_0}{T}-1\right)\mathrm{d}T. \)
Ezt integrálva \(\displaystyle T_0-\Delta T\)-től \(\displaystyle T_0\)-ig:
\(\displaystyle W_2=C\int\limits_{T_0-\Delta T}^{T_0}\left(\frac{T_0}{T}-1\right)\mathrm{d}T=CT_0\left(-\frac{\Delta T}{T_0}-\ln\left(1-\frac{\Delta T}{T_0}\right)\right). \)
Összehasonlítás: Vezessük be az \(\displaystyle \varepsilon=\tfrac{\Delta T}{T_0}\) jelölést. Ekkor a két munka különbsége:
\(\displaystyle W_2-W_1=CT_0\left(\ln\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}-2\varepsilon\right)=2CT_0(\mathrm{artanh}\,\varepsilon-\varepsilon). \)
Mivel \(\displaystyle \mathrm{artanh}\,\varepsilon=\varepsilon+\tfrac{\varepsilon^3}{3}+\dots>\varepsilon\), ezért \(\displaystyle W_2>W_1\). Tehát több munka nyerhető a második esetben, amikor a test kezdetben hidegebb (\(\displaystyle T=T_0-\Delta T\)).
Megjegyzés. \(\displaystyle \Delta T\ll T_0\) esetén a közelítő alakok:
így a különbség csak a harmadrendű tagtól kezdve jelentkezik.
Erdélyi Dominik (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)
II. megoldás. Az összehasonlítás az integrálok kiszámítása nélkül is elvégezhető. Az integrálást mindkét esetben egy \(\displaystyle \Delta T\) hosszúságú intervallumon kellene végezzük: az egyik esetben \(\displaystyle T_0\)-ról indulva \(\displaystyle T_0+\Delta T\)-ig, a másik esetben \(\displaystyle T_0-\Delta T\)-ről indulva \(\displaystyle T_0\)-ig (3. ábra).
3. ábra
Hasonlítsuk össze a két integrandust! Az első esetben
\(\displaystyle T_0\leq T\leq T_0+\Delta T\quad\Rightarrow\quad T=T_0+\delta T, \)
míg a második esetben
\(\displaystyle T_0-\Delta T\leq T\leq T_0\quad\Rightarrow\quad T=T_0-\delta T, \)
ahol \(\displaystyle 0\leq\delta T\leq\Delta T\). Ez alapján (a \(\displaystyle C\) konstanst mindkét esetben elhagyva):
\(\displaystyle 1-\frac{T_0}{T}=1-\frac{T_0}{T_0+\delta T}=\frac{\delta T}{T_0+\delta T}\leq\frac{\delta T}{T_0-\delta T}=\frac{T_0}{T_0-\delta T}-1=\frac{T_0}{T}-1, \)
azaz a második esetben az integrandus mindig nagyobb (az intervallum szélén pedig egyenlő). Tehát – az I. megoldásban szereplő érveléssel összhangban – a második esetben nyerhető több munka.
17 dolgozat érkezett. Helyes 5 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 3, hiányos (1–3 pont) 6, hibás 3 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
G. 915. Egy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalélű háromszög alakú, vékony lemez homogén tömegeloszlású, súlya \(\displaystyle G\). A lemezt vízszintes helyzetben, a háromszög csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a lemez az alátámasztási pontokat?
P. 5706. Homogén tömegeloszlású vékony vasrúdból \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) hosszúságú darabokat vágunk le, és azokból háromszög alakú merev keretet hozunk létre. A vaskeret teljes súlya \(\displaystyle G\). A keretet vízszintes helyzetben a csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a vaskeret az alátámasztási pontokat?
