Woynarovich Ferenc
Kevés az olyan egyenlettípus, amely zárt alakban megoldható, a legtöbb esetben valamilyen numerikus megoldáshoz kell folyamodnunk. Mindig lehetőségünk van a próbálgatásra, amit ügyesen végrehajtva megbízható eredményre juthatunk, de bizonyos esetekben a megoldás megkeresésére szisztematikus, könnyen automatizálható eljárás is a rendelkezésünkre áll. Az alábbiakban egy ilyet mutatunk be. Ez az
típusú egyenletek esetében alkalmazható, és az \(\displaystyle f(x)\) függvények egy széles osztályában eredményes. A módszer lényege, hogy az
\(\displaystyle x_{n+1}=f(x_n) \)
képzési szabály segítségével egy sorozatot generálunk. Ennek a sorozatnak az elemei az \(\displaystyle f(x)\) megfelelő tulajdonságai esetén egyre pontosabban megközelítenek egy, a kiinduló \(\displaystyle x_1\) megválasztásától független
\(\displaystyle x_\infty=\xi \)
értéket, ami nyilván az egyenletünk megoldása, hisz tetszőleges pontossággal teljesül, hogy:
A továbbiakban \(\displaystyle x\) általában az egyenletben szereplő változót, \(\displaystyle \xi\) pedig mindig az egyenlet megoldását jelöli.
A módszer működése az 1. ábrán szemléletesen követhető.
1. ábra
Az eljárás nem mindig konvergál: ha az \(\displaystyle y=f(x)\) függvény görbéje túl meredeken metszi az \(\displaystyle y=x\) egyenest, akkor a sorozatnak nincs határértéke, a tagjai az \(\displaystyle n\) növekedésével egyre messzebb kerülnek a megoldástól (2. ábra).
2. ábra
Ahhoz, hogy az eljárás konvergenciájára kvantitatív feltételeket állapíthassunk meg, vizsgáljuk meg (az amúgy analitikusan is kezelhető) \(\displaystyle f(x)=mx+b\) lineáris függvény esetét! Az
\(\displaystyle x_{n+1}=mx_n+b \)
rekurzió szerint
Látni való, hogy ez a kifejezés az \(\displaystyle n\to\infty\) esetben az
\(\displaystyle x_\infty=\frac{b}{1-m} \)
értékhez tart, ha \(\displaystyle |m|<1\), de nincs határértéke, ha \(\displaystyle |m|\geq 1\). A két egyenes metszéspontja bármely \(\displaystyle m\not=1\) érték mellett \(\displaystyle \xi={b}/({1-m})\)-nél van, de ezt az eljárás csak \(\displaystyle |m|<1\) esetén adja vissza. Tekintettel arra, hogy a számunkra érdekes (fizikában előforduló) folytonos és sima függvények a metszéspont környékén jó közelítéssel egyenessel helyettesíthetők, azt mondhatjuk: ha az \(\displaystyle y=f(x)\) függvény az \(\displaystyle y=x\) egyenest úgy metszi, hogy a \(\displaystyle \xi\) metszéspontban az \(\displaystyle m_f\) meredeksége \(\displaystyle +1\) és \(\displaystyle -1\) közé esik, azaz \(\displaystyle |m_f|<1\), akkor az algoritmus a metszéspont közeléből indítva konvergens. Az eddigieket végiggondolva a következő precíz megállapítást tehetjük:
Ha az \(\displaystyle (1)\) egyenlet megoldását jelentő \(\displaystyle \xi\) pont egy \(\displaystyle \xi-d<x<\xi+d\) \(\displaystyle (d>0)\) környezetében az \(\displaystyle y=f(x)\) függvény görbéje határozottan a \(\displaystyle \xi\)-n átmenő \(\displaystyle +1\) meredekségű \(\displaystyle y=x\) és \(\displaystyle -1\) meredekségű \(\displaystyle y=2\xi-x\) egyenesek között halad a
és
szabály szerint, ahol \(\displaystyle 0<\alpha<1\), akkor a közelítő eljárásunkat a \(\displaystyle \xi-d<x<\xi+d\) tartomány bármely pontjából indítva az az \(\displaystyle x_\infty=\xi\) értékhez fog tartani.
Állításunkat egyszerűen igazolhatjuk. Az \(\displaystyle f(x)\) menetére vonatkozó (3\(\displaystyle a\)) és (3\(\displaystyle b\)) feltételünk szerint
\(\displaystyle \left| f(x)-\xi \right|\leq \alpha\left| x-\xi \right|,\quad \mbox{ha}\quad \left|x-\xi \right|\leq d, \)
amit a sorozat képzésekor lépésről lépésre alkalmazva az
\(\displaystyle \left| x_{n+1}-\xi \right|\leq \alpha\left| x_n-\xi \right| \)
egyenlőtlenség sorozatot kapjuk. Fontos látni, hogy a \(\displaystyle 0<\alpha<1\) feltétel miatt, ha \(\displaystyle \left|x_1-\xi \right|<d\), akkor az \(\displaystyle \left|x_n-\xi \right|< d\) is teljesül minden \(\displaystyle n\)-re, tehát a képzési szabály nem vezet ki a \(\displaystyle \xi-d<x<\xi+d\) intervallumból. Ennek alapján
\(\displaystyle \left| x_{n+1}-\xi \right|\leq \alpha^n\left| x_1-\xi \right|, \)
és mivel \(\displaystyle n\) növelésével \(\displaystyle \alpha^n\) nullához tart, az \(\displaystyle x_n\) értékek valóban egyre pontosabban megközelítik \(\displaystyle \xi\)-t.
Az itt megfogalmazott feltétel az eljárás konvergenciájára nézve egy elégséges, a szükségesnél szigorúbb feltétel. Vannak olyan esetek, amikor ez nem teljesül, a rekurzió mégis konvergens, de olyan nincs, hogy a fentiek teljesülnek, az eljárás viszont mégsem használható. (Lehetséges például olyan eset, hogy az iterációt valahonnan a fenti \(\displaystyle (\xi-d,\xi+d)\) tartományon kívülről indítva is eljutunk a \(\displaystyle \xi\)-hez, de ez általában nem garantálható.) Itt nem célunk a pontos, mindenre kiterjedő feltételek feltérképezése, csak azt akartuk bemutatni, hogy ez a megoldási módszer milyen feltételek között használható biztosan.
A gyakorlatban nem ismerjük \(\displaystyle \xi\)-t, így az \(\displaystyle f(x)\)-et sem tudjuk a \(\displaystyle \xi\) közelében elemezni, de ha szükséges, pl. grafikus ábrázolással képet alkothatunk arról, hogy hol várható a megoldás, és az eljárás konvergensnek ígérkezik-e. Ha igen, a rekurziót addig folytatjuk, amíg az eredmény megkívánt pontosságának megfelelő értékes jegyek már nem változnak az újabb tagok generálásakor. (A sorozat egymást követő elemeinek a felhasználásával ennél szabatosabb hibabecslés is lehetséges, de a gyakorlatban ez a ,,konyhaszabály'' is bőven megfelel.)
Ennél izgalmasabb kérdés, mit tehetünk, ha a sorozatunknak nincs határértéke, a gyök várható környezetében az egymást követő tagok különbsége nem csökken, hanem egyre nő? Ha valóban van az adott környezetben az egyenletnek megoldása, a divergenciát az okozza, hogy ott az \(\displaystyle f(x)\) meredeksége túl nagy (\(\displaystyle |m_f|>1\)). Ebben az esetben az egyenletünket úgy kell átalakítani, hogy a gyök helye ne változzon, de az \(\displaystyle x\)-szel egyenlővé tett függvény meredeksége a megfelelő határok közé kerüljön. Ezt többféleképpen is megtehetjük.
A) Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle F(x)\) az \(\displaystyle f(x)\) inverze, azaz
\(\displaystyle F(f(x))=x. \)
Az \(\displaystyle x=\xi\) helyen (2) miatt
\(\displaystyle F(\xi)=\xi, \)
tehát az
\(\displaystyle x=F(x) \)
egyenlet gyöke(i) ugyanott van(nak), ahol az (1) egyenleté. Ez nem meglepő, hiszen az \(\displaystyle y=f(x)\) és az \(\displaystyle y=F(x)\) görbéi egymás tükörképei az \(\displaystyle y=x\) egyenesre. Ebből az is következik, hogy a két függvény \(\displaystyle m_f\) és \(\displaystyle m_F\) meredeksége a metszéspontban egymás reciproka:
\(\displaystyle m_fm_F=1. \)
Így ha \(\displaystyle |m_f|>1\), akkor \(\displaystyle |m_F|<1\), és az eljárásunk \(\displaystyle f(x)\) helyett \(\displaystyle F(x)\)-et használva konvergálni fog.
B) Az
\(\displaystyle x=g(x) \)
egyenlet gyökei is megegyeznek az (1) egyenlet gyökeivel, ha
\(\displaystyle g(x)=cx+(1-c)f(x)\quad(c\not=1). \)
Ennek a meredeksége a gyök helyén
\(\displaystyle m_g=c+(1-c)m_f, \)
tehát \(\displaystyle c\) alkalmas megválasztásával a meredekség ,,behúzható'' a \(\displaystyle \pm1\) tartomány belsejébe.
Mindkét trükk szemléltethető a P. 5626. feladat megoldásában (lásd lapunk 2025. februári számában) szerepet kapott
\(\displaystyle x=\frac{\ctg x}{2} \)
egyenlettel. Ahogy arról meggyőződhetünk, az
szabállyal képzett sorozat, akárhonnan indítjuk, nem konvergál. Ugyanakkor az inverz függvény használata eredményes: az
rekurzió 10 értékes jegy pontossággal az \(\displaystyle x_\infty=0{,}6532711871\) értékhez tart. Ugyanehhez konvergál az
sorozat is, ami a B) eljárásban \(\displaystyle c=1/2\)-nek felel meg. Megjegyezzük, az
sorozat is konvergens, de fontos látnunk, ez nem a \(\displaystyle (4c)\) rekurzió függvényének az inverzét használja, hanem \(\displaystyle (4b)\) módosítása a B) eljárás szerint \(\displaystyle c=1/2\) választással. A különböző eljárások különböző nagyságú lépésekben közelítik meg az eredményt, különböző sebességgel konvergálnak. Konyhaszabálynak elfogadhatjuk, hogy annál gyorsabb a konvergencia, minél kisebb a jobb oldal meredekségének az abszolút értéke a határérték közelében. A \(\displaystyle (4b)\), \(\displaystyle (4c)\) és \(\displaystyle (4d)\) sorozatokban a meredekségek rendre \(\displaystyle -0{,}74\), \(\displaystyle -0{,}17\) és \(\displaystyle 0{,}13\), ennek megfelelően a \(\displaystyle (4c)\) és \(\displaystyle (4d)\) sorozat számottevően gyorsabban közelíti meg az \(\displaystyle x_\infty\) értéket, mint a \(\displaystyle (4b)\) sorozat.
3. ábra
Végül néhány szót kell szólnunk arról az esetről is, amikor az (1) egyenletnek több gyöke is van. Előfordulhat, hogy az eljárás egyik gyököt sem találja meg, mert az \(\displaystyle m_f\) meredekség abszolút értéke minden gyök esetében nagyobb egynél. Ilyenkor az A) vagy a B) trükk segítségével elérhetjük, hogy az eljárás bármely kiválasztott gyök esetében megfelelő kezdőértékről indítva konvergáljon. Az viszont biztos nem lehetséges, hogy az eljárás minden további manipuláció nélkül minden gyök esetében konvergens legyen: ha mondjuk \(\displaystyle f(x)\) a \(\displaystyle \xi_i\) gyök környezetében teljesíti a \(\displaystyle (3a)\) és \(\displaystyle (3b)\) feltételeket, akkor a szomszédos \(\displaystyle \xi_{i-1}\), illetve \(\displaystyle \xi_{i+1}\) esetében biztos nem fogja, mert ott \(\displaystyle |m_f|\) túl nagy lesz, ahogy azt a 3. ábrán is láthatjuk.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
A NapCsiga egy tisztán napelemes kishaszonjármű, amely 2017-ben a tatabányai Edutus Egyetemen egy projekt keretében készült, és azóta is használatban van. A járműre szerelt adatgyűjtőnek köszönhetően rengeteg adat áll rendelkezésre, amelyből érdekes tapasztalatok összegezhetők. Ebben az írásban néhány egyszerű és közismert fizikai összefüggés gyakorlati érvényesülését mutatjuk meg; mit lehet elérni és milyen korlátokat jelent ez a technológia.
A napelemes jármű tervezésének legalapvetőbb lépése a méretezés. A jármű saját tömege 350 kg, a maximális terhelhetősége kb. 300 kg. A felszerelt napelemtáblák teljes felülete \(\displaystyle 4{,}8~\mathrm{m}^2\), ezzel szép idő esetén naponta 1-2 kWh befogott energiára lehet számítani. Ehhez kell méretezni a motor teljesítményét (\(\displaystyle 1500~\mathrm{W}\approx 2~\mathrm{LE}\)) és az akkumulátorok kapacitását (3 kWh, 1-2 naponként feltöltődik, 1-2 naponta kihasználjuk). Ez megszabja a hatótávolságot (30-40 km helyi fuvar, ha közben süt a Nap, akkor néha 100 km) (A legtöbb, amit egy nap megtett, az 130 km volt, de arra már nagyon fel kellett készülni: előtöltöttség, korai indulás, sok napoztatás.), és a használat módját: jellemzően helyi teherszállítás, fatelep, bolt, posta, néha országjárás, tábori felszerelés szállítása, nyáron maximális kihasználtság, télen csendes pihenő. Csodák nincsenek: ha egy hétig esik az eső, akkor az akkumulátorban lévő 40 km-re lehet számítani, hiába vannak sürgős elképzeléseink.
A fizikában (és sok más tudományterületen) gyakran szükségünk lehet egy függvény szélsőértékének (minimumának vagy maximumának) meghatározására. Ez történhet differenciálszámítás segítségével, grafikus ábrázolással, esetenként algebrai egyenlőtlenségek felhasználásával, vagy erre alkalmas, az interneten szabadon hozzáférhető számítógépes programok (pl. GeoGebra, WolframAlpha) futtatásával.
Ha egy egyváltozós, sima (differenciálható) \(\displaystyle f(x)\) függvénynek valamely \(\displaystyle x_0\) pontban (lokális) szélsőértéke van, akkor ott a deriváltja nulla kell hogy legyen. Ezzel egyenértékű megfogalmazás (ami nem igényli a differenciálszámítás formális szabályainak ismeretét) a következő. Ha a függvény értékei az \(\displaystyle x_0\) ponthoz közel, attól kicsiny \(\displaystyle \epsilon\) távolságra
\(\displaystyle f(x_0+\epsilon)=f(x_0)+m(x_0)\,\epsilon+\delta(x_0,\epsilon) \)
alakban írhatók fel (ahol \(\displaystyle \delta(x_0,\epsilon)\) ,,nagyon kicsi'' mennyiség), akkor \(\displaystyle m(x_0)\)-at a függvény \(\displaystyle x_0\) pontbeli ,,meredekségének'' nevezzük. A ,,nagyon kicsi'' pongyola megfogalmazás itt azt jelenti, hogy \(\displaystyle \delta\) még \(\displaystyle \epsilon\)-nál is sokkal kisebb, mert a \(\displaystyle \delta/\epsilon\) hányados \(\displaystyle \epsilon\) csökkentésével tetszőlegesen kicsivé tehető. A \(\displaystyle \delta\) mennyiséget gyakran ,,másodrendűen kicsinek'' is nevezzük, és a közelítő számításokban \(\displaystyle \epsilon\) mellett elhanyagoljuk.
