A KöMaL 2025. szeptemberi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. október 10-én LEJÁRT.

---

K. 864. Az alábbi elrendezést gyufákból készítettük. Legkevesebb hány gyufát kell áthelyeznünk ahhoz, hogy az öt egybevágó négyzet helyett csak négy, az eredetiekkel egybevágó legyen látható az új elrendezésben? (A négyzetlapok nem fedhetik át egymást, csak oldaluk vagy csúcsuk lehet közös, és befejezetlen négyzetet sem alakíthatunk ki.)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 865. Egy kereskedő \(\displaystyle 3000~\mathrm{Ft}\)-ért vett egy terméket a nagykereskedéstől. Mennyiért árulja, ha az árból \(\displaystyle 10\%\) kedvezményt adva is szeretne a beszerzési árhoz képest \(\displaystyle 20\%\)-ot keresni rajta?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 866. Határozzuk meg az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) különböző pozitív egész számok értékét, ha tudjuk, hogy:

$$\begin{align*} a(b+c+d)&=16,\\ b(a+c+d)&=30,\\ c(a+b+d)&=42. \end{align*}$$

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. október 10-én LEJÁRT.

---

K/C. 867. Van két egyforma, téglalap alakú papírlapunk. Az egyiket egy egyenes vágással két téglalapra vágjuk, a kapott téglalapok kerületének összege \(\displaystyle 84~\mathrm{cm}\). A másik papírlapot is két téglalapra vágjuk egy egyenes vágással, a két kapott téglalap kerületének összege \(\displaystyle 96~\mathrm{cm}\). Hány cm hosszúak az eredeti téglalap oldalai?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K/C. 868. Öt számkártyára egy-egy egymástól különböző számjegyet írtunk. A számkártyákból először kiraktuk a lehető legnagyobb, majd a lehető legkisebb ötjegyű számot. A két kirakott szám összege 96478 lett. Melyik öt számjegy szerepel a számkártyákon? (A számkártyákat forgatni – tehát például 9-esből 6-ost csinálni – nem szabad.)

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. október 10-én LEJÁRT.

---

C. 1863. Egy családnak négy gyermeke van. Életkoruk aránya 2004-ben \(\displaystyle 2:3:4:5\) volt. A születési éveik összege \(\displaystyle 7960\).

a) Mennyi volt a gyermekek életkorának összege \(\displaystyle 2000\)-ben?

b) Hány éves volt a legidősebb gyerek \(\displaystyle 2004\)-ben?

kanadai versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1864. Egy hatszög szögei egyenlők, négy egymást követő oldalának hossza \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 6\) és \(\displaystyle 7\) (ebben a sorrendben). Számítsuk ki a következő két oldal hosszát.

indiai versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1865. Az iskolai szkanderbajnokságon \(\displaystyle 17\) fő indult el. Mindenki pontosan egyszer mérkőzött meg mindenkivel, döntetlen nem született. A versenyzők egy csoportját erősnek hívjuk, ha teljesül rájuk, hogy bármely rajtuk kívüli versenyzőt legyőzött közülük valaki. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható legfeljebb \(\displaystyle 9\) fős erős csoport.

Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1866. Adott egy egységnyi hosszúságú, illetve egy \(\displaystyle a\) és egy \(\displaystyle b\) hosszúságú (\(\displaystyle a\neq 1\) és \(\displaystyle b\neq 1\)) szakasz. Adjunk szerkesztési eljárást az \(\displaystyle \dfrac{1}{a}\), az \(\displaystyle a\cdot b\) és az \(\displaystyle a^2\cdot b^3\) hosszúságú szakaszok szerkesztésére. (Az elemi szerkesztési lépéseket, mint például szög felezése, tengelyes tükrözés, nem kell részletezni.)

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1867. A zárójelek felbontása és az összevonások után mennyi lesz az \(\displaystyle a^nb^nc^n\) együtthatója az \(\displaystyle (a+b)^n(b+c)^n(c+a)^n\) algebrai kifejezésben, ahol \(\displaystyle n\) pozitív egész szám? (A választ megadhatjuk legfeljebb \(\displaystyle n\)-tagú összegként.)

Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. október 10-én LEJÁRT.

---

B. 5470. A Pascal-háromszög \(\displaystyle 14\). sorának három egymást követő eleme \(\displaystyle 1001\), \(\displaystyle 2002\), \(\displaystyle 3003\). Előfordul-e a Pascal-háromszög másik sorában is, hogy három egymást követő elem \(\displaystyle n\), \(\displaystyle 2n\), \(\displaystyle 3n\) valamilyen \(\displaystyle n\) egész számra?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5471. Legfeljebb hány számot lehet kiválasztani az első \(\displaystyle 50\) pozitív egész szám közül úgy, hogy semelyik kettő szorzata ne legyen negyedik hatvány?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5472. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszögben \(\displaystyle AB=BC=CD\). Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle BCD\sphericalangle=2DAB\sphericalangle\), akkor \(\displaystyle ABC\sphericalangle=2CDA\sphericalangle\).

Javasolta: Kós Géza (Budapest) és Vígh Viktor (Sándorfalva)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5473. Néhány különböző pozitív egész szám összege \(\displaystyle 1000\). Legfeljebb mennyi lehet a szorzatuk?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5474. Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 11\), \(\displaystyle 15\), \(\displaystyle 16\), \(\displaystyle 17\), \(\displaystyle 19\) és \(\displaystyle 23\) oldalú négyzeteket nem lehet átfedés nélkül bepakolni a \(\displaystyle 45\times 45\)-ös négyzetbe.

Javasolta: Bozóki Sándor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5475. Mutassunk példát olyan szabályos sokszögre, amelynek a területe egyenlő valamelyik két átlójának szorzatával.

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5476. Alinak és Babának is van egy-egy véletlenszám-generátora. Alié az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 100\) számok közül sorsol egyet egyenlő eséllyel, míg Babáé a \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 100\) számok közül. (A sorsolások függetlenek egymástól.) Ali kiszámolta, hogy a saját gépét várhatóan hányszor kell használni ahhoz, hogy a sorsolt számok összege legalább \(\displaystyle 101\) legyen, míg Baba kiszámolta, hogy az ő gépét várhatóan hányszor kell használni ahhoz, hogy a sorsolt számok összege legalább 100 legyen. Melyikük várható értéke lett a nagyobb?

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(6 pont)

megoldás

---

B. 5477. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög köré írt kör \(\displaystyle \Omega\). Az \(\displaystyle \omega_1\) és \(\displaystyle \omega_2\) körök belülről érintik \(\displaystyle \Omega\)-t, és mindkettő érinti az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle CD\) szakaszt is. Az \(\displaystyle \omega_1\) és \(\displaystyle \omega_2\) a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokban metszik egymást. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle PQ\) egyenes felezi az \(\displaystyle \Omega\) kör \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) íveit.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. október 10-én LEJÁRT.

---

A. 911. Milyen \(\displaystyle n\ge4\) egész számokra igaz, hogy a szabályos \(\displaystyle n\)-szög területe egyenlő valamelyik két átlójának szorzatával?

Hujter Mihály (Budapest) ötletéből

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 912. Egy \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\) csúcsához tartozó szimmedián egyenese a körülírt kört \(\displaystyle A'\)-ben metszi el másodszorra. Mutassuk meg, hogy az alábbi három pont egy egyenesre illeszkedik:

• az \(\displaystyle A\) pont \(\displaystyle BC\) egyenesre vett tükörképe;
• az \(\displaystyle A\) pont inverz képe az \(\displaystyle ABC\) háromszög Feuerbach-körére vett inverzió során;
• az \(\displaystyle AA'\) húr felezőpontja.

Javasolta: Szakács Ábel, Budapest

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 913. Legyen \(\displaystyle n\) egy pozitív egész szám. Marci a füzetébe leírja az első \(\displaystyle n\) pozitív egész számot valamilyen sorrendben úgy, hogy azt mi nem látjuk. Legyen ez \(\displaystyle m(1),m(2),\ldots,m(n)\), ezt a sorrendet szeretnénk kitalálni. Egy lépésben mi is felsorolhatjuk az első \(\displaystyle n\) pozitív egész számot Marcinak valamilyen sorrendben, legyen ez \(\displaystyle a(1),\ldots,a(n)\). Ekkor Marci a füzetébe (amit mi nem látunk) rajzol egy \(\displaystyle n\) csúcsú üres gráfot, melynek csúcsait megcímkézi rendre az \(\displaystyle 1,2,\ldots, n\) számokkal. Ezután minden \(\displaystyle 1\leq i\leq n\) egészre az \(\displaystyle i\)-vel címkézett csúcsból húz egy irányított élet az \(\displaystyle m(a(i))\) címkéjű csúcsba. Végül a kapott \(\displaystyle n\) élű gráf felbomlik diszjunkt irányított körök uniójára (amelyek akár állhatnak egyetlen hurokélből is), és Marci elárulja nekünk ezen körök számát.

a) Mutassuk meg, hogy mindig ki tudjuk találni a gondolt permutációt legfeljebb \(\displaystyle n\log_2 (n)\) ilyen lépésből.

b) Létezik-e olyan \(\displaystyle c<1\) konstans, amelyre minden \(\displaystyle n\) esetén elég \(\displaystyle cn\log_2 (n)\) ilyen lépés?

Javasolta: Németh Márton, Budapest

(7 pont)

megoldás, statisztika